Question

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁．
（1）当a=-1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

Answer

（1）根据a=-1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．
【解析】
（1）当a=-1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=-x2+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C与C1关于点B中心对称，
∴抛物线n的解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3；

（2）
四边形AC1A1C是平行四边形．
理由：连接AC，AC1，A1C，
∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，
∴AB=BA1，BC=BC1，
∴四边形AC1A1C是平行四边形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax2+b=0，∴，
∴，
∴．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，
∴，∴，
∴ab=-3．
∴a，b应满足关系式ab=-3．