Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．
（1）如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于D．证明：△A₁CD是等边三角形；
（2）如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁：S₂=1：3；
（3）如图3，设AC中点为E，A₁B₁中点为P，AC=a，连接EP，当θ=______°时，EP长度最大，最大值为______．

Answer

（1）当AB∥CB1时，∠BCB1=∠B=∠B1=30°，则∠A1CD=90°-∠BCB1=60°，∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°，可证：△A1CD是等边三角形；
（2）由旋转的性质可证△ACA1∽△BCB1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，当△ABC旋转到△A1B2C的位置时，此时θ=∠ACA1=120°，EP=EC+CP=a+a=a．根据图形求出此时的旋转角及EP的长．
（1）证明：如图，∵AB∥CB1，
∴∠BCB1=∠B=∠B1=30°，
∴∠A1CD=90°-∠BCB1=60°，∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°，
∴△A1CD是等边三角形；

（2）证明：由旋转的性质可知AC=CA1，∠ACA1=∠BCB1，BC=CB1，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴S1：S2=AC2：BC2=12：2=1：3；

（3）【解析】
如图，连接CP，当△ABC旋转到△A1B2C的位置时，
此时θ=∠ACA1=120°，EP=EC+CP=a+a=a．
故答案为：120，a．