Question

如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线过点C、B．
（1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；
（2）如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ=1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；
（3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O→D→C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O⇒C⇒D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S是①中函数S的最大值，那么S=______．

Answer

（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
（3）一：本题要分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
【解析】
（1）∵A（10，0），D（6，0），
∴OA=10，OD=6，
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
∴CD=CB=10，
∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC==8．
∴C（0，8），B（10，8），
又∵C、B均在y=x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴y=x2-2x+8；

（2）当x=-1时，y=×（-1）2-2×（-1）+8=，
∴此时P（-1，），
又∵S距离x轴上方个单位，
∴PS=-=8，
∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
则由题意知：，
∴，
∴PG=PS=．
故P的纵坐标为，
∴设P（a，），则a2-2a+8=，
∴a1=4，a2=6，（1分）
∴P（4，）或（6，）；

（3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
∴3t+8t=6+8+10，
解得t=，
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
∴S△OMN=OM•NH=×3t×8t=12t2，
此时，当t=1时，S大=12，
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
则DN=18-8t，
过N作NH⊥OD于H，
则=sin∠CDO==，
∴NH=DN=（18-8t）=（9-4t）．
∴S△OMN=OM•ON，
=×（9-4t）×3t，
=-t2+t，
=-（t-）2+，
∴当t=时，S大==12.15．
③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上，
则MN=24-11t，
过O作OH⊥CD于H，
则由等面积得：OH=，
∴S△OMN=OH•MN=××（24-11t）=-t+，
此时当t=2时，S大=．