Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于    ．

Answer

作辅助线，延长BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△DBG为等腰直角三角形，则可利用勾股定理求DG，又根据等腰直角三角形的性质可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，从而得到FC=FG-AD=2，根据ADFE为矩形和等腰梯形的两腰相等可证△ABE≌△DCF，则BE=FC，则EF=BC-2FC=8-2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．
【解析】
延长BC至G，使DG∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴BG2=2BD2
∴（BC+AD）2=2BD2
∴BD=DG=6
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF2=（）2
∴DF=6，可得FC=6-4=2，
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD∥BC，
∴ADFE为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．