Question

已知如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是    ．
四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，则△FAC的面积是    ．
…
如果两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a，则△KCA的面积是    ．（结果用含有a、n的代数式表示）

Answer

先根据平行线的判定定理得出AB∥CE，再过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数的定义即可求出CF的长，由三角形的面积公式即可求出△BAE的面积；利用三角形的面积公式即可得出△BAE的面积；连接BF，过点B作BM⊥AC，可先判断出AC∥BF，故可得出BM即为△FAC的高，再根据三角形的面积公式即可得出结论；同以上结论，当两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a可得出△ABC与△KCA同底等高，过点B作BN⊥AC于点N，由锐角三角函数的定义可求出BN及AC的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】
如图1，
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴∠DCE=∠BAC=60°，
∴AB∥CE，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF即为△BAE的高，
∴△ABC与△BAE同底等高，
∴S△BAE=S△ABC=AB•CF=×1×=；
如图2，连接BF，过点B作BM⊥AC于点M，同理可证AC∥BF，故△FAC与△ABC同底等高，
∴S△FAC=S△ABC=×4×4=8；
如图3，
正多边形ABCDE…中，过点B作BN⊥AC于点N，同上可得S△KCA=S△ABC，
∵多边形是正多边形，BN⊥AC，
∴∠NBC=，AC=2NC=2AN，
∵BC=2a，
∴在Rt△BCN中，NC=BC•sin，BN=BC×cos，
∴S△KCA=S△ABC=AC•BN=×2×2a×sin×2a×cos==．

故答案为：或（）