Question

已知二次函数y=-x²+2ax-4a+8
（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围．
（3）以二次函数y=-x²+2ax-4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）利用一元二次方程根的判别式进行判断，若△＞0，则-x2+2ax-4a+8=0有两个不相等的实数根，即
二次函数的图象与x轴总有两个交点，据此可求出a的取值范围．
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，找到对称轴，根据对称轴在x=2的左侧或与x=2重合得到a≤2．
（3）解法一：正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关，二次函数y=-x2+2ax-4a+8的图象可以看做是二次函数y=-x2的图象通过平移得到的，于是研究y=-x2的图象与正三角形△A'M'N'的面积即可，计算出M′N′H和A′B′即可计算三角形的面积为定值；
解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，利用三角函数求出，设M（m，n），得到BM=a-m（m＜a），AB=yA-yB=a2-4a+8-n，计算出它们的值，利用三角形面积公式计算出面积为定值．
【解析】
（1）∵△=4a2-16a+32=4（a-2）2+16，
无论a为何实数△=4（a-2）2+16＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点．

（2）∵y=-x2+2ax-4a+8，
∴y=-（x-a）2+a2-4a+8，
∴由题意得，对称轴在x=2的左侧或与x=2重合，
故a≤2．

（3）如图：

解法一：以二次函数y=-x2+2ax-4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN（M，N两点在二次函数的图象上），
这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关．
二次函数y=-x2+2ax-4a+8的图象可以看做是二次函数y=-x2的图象通过平移得到的．
如图，正三角形AMN的面积等于正三角形△A'M'N'的面积．
因此，与a的取值无关，
∵点A'，M，'N'在二次函数y=-x2的图象上，
∴A'（0，0），M'（-m，-m2），N'（m，-m2），B'（0，-m2），B'N'=m，，
∵点N'在y=-x2的图象上，
∴A'B'=m2，
∴，
∴m=0（舍去），
∴，
∴，A'B'=3，
∴，
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值，定值为．
解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，
设抛物线的对称轴与MN交于点B，则，
设M（m，n），
∴BM=a-m（m＜a），
又AB=yA-yB=a2-4a+8-n
=（a2-4a+8）-（-m2+2am-4a+8）

∴，
∴，
∴，AB=3，
∴，
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值．