Question

已知：如图，二次函数y=a（x+1）²-4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a（x+1）²-4的图象的顶点，CD=．
（1）求a的值．
（2）点M在二次函数y=a（x+1）²-4图象的对称轴上，且∠AMC=∠BDO，求点M的坐标．
（3）将二次函数y=a（x+1）²-4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C₁，与y轴的交点为D₁，是否存在实数k，使得CF⊥FC₁？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据函数的解析式，可以直接写出顶点C的坐标．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，能确定点A、B的坐标，在Rt△OBD中，首先求出∠OBD的正弦值，设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若∠AMC=∠BDO，那么它们的正弦值相等，在Rt△AMN中即可求出MN的长，由此得出点M的坐标．
（3）抛物线在向下平移的过程中，顶点、抛物线与y轴交点同时向下平移了k个单位，由此易发现四边形CC1D1D为平行四边形，进一步能推出△CFC1是等腰直角三角形，根据C、C1两点的坐标，结合等腰直角三角形的性质可写出点F的坐标，再代入平移后的抛物线解析式中进行求解即可．
【解析】
（1）∵C（-1，-4），CD=，
∴D（0，-3）
∴a=1
∴y=（x+1）2-4
即y=x2+2x-3．

（2）如右图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则N（-1，0）；
由（1）的抛物线：y=x2+2x-3，得：A（-3，0）、B（1，0）
在Rt△OBD中，OD=3，OB=1，tan∠BDO==．
若∠AMC=∠BDO，则tan∠AMN=tan∠BDO=；
在Rt△AMN中，AN=OA-ON=2，MN=AN÷tan∠AMN=6；
故M（-1，6）或（-1，-6）．

（3）存在．
∵CC1=DD1=k，CC1∥DD1，
∴四边形CC1D1D为平行四边形，
∴C1D1∥CD，
∴∠D1 C1C=∠DCN=45°，
∵CF⊥FC1，
∴∠CC1F=45°
即△CFC1为等腰直角三角形，且CC1=k，
∴F（-k-1，-k-4），
由点F在新抛物线y=x2+2x-3-k上，
∴（-k-1）2+2（-k-1）-3-k=-k-4，
解得k=2或k=0（舍），
∴k=2．
当k=2时，CF⊥FC1．