Question

阅读理【解析】

对于任意正实数a，b，∵，∴，∴，只有当a=b时，等号成立．若ab为定值P，则，只有当a=b时，a+b有最小值．
（1）如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与点A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．根据图象验证，，并指出等号成立时的条件．

（2）根据上述内容，回答下列问题
①若m＞0，只有当m=______时，有最小值为______．
②如图2所示：A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时ABCD的形状．

Answer

（1）先证明△ACD∽△CBD可得CD与之间的关系，根据半径与a，b之间的等量关系，以及半径大于CD可得相关结论．
（2）①根据材料信息，可直接得出m的值，及的最小值．
②设出的点P的坐标，根据对角线互相垂直的四边形的面积的求法，表示出四边形ABCD的面积，然后根据材料信息得出面积的最小值，也可判断出此时四边形ABCD的形状．
【解析】
（1）AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=90°-∠B=∠BCD，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD2=AD•DB=ab，
∴CD=，
若点D与O不重合，连OC，
在Rt△OCD中，OC＞CD，则＞，
若点D与O重合时，OC=CD，则=．
综上所述≥，即a+b≥2，且当a=b时，等号成立．

（2）①由所给信息可得：≥2=2，且当m=时，等号成立，
即可得若m＞0，只有当m=1时，有最小值为2．
②设P（x，），则C（x，0），D（0，），CA=x+3，DB=+4，
则S四边形ABCD=CA×DB=（x+3）×（+4），
化简得：S四边形ABCD=2（x++12），
∵x＞0，＞0，
∴x+≥2=6，
只有当x=即x=3时，等号成立．
则S≥2×6+12=24，
即当x=3时，S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
故可得四边形ABCD是菱形．