Question

已知抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1（m为常数）．
（1）若抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1与x轴交于两个不同的整数点，求m的整数值；
（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；
（3）若点M（x₁，y₁）与点N（x₁+k，y₂）在（2）中抛物线上 （点M、N不重合），且y₁=y₂．求代数式的值．

Answer

（1）根据题意可得方程x2+（2m-1）x+m2-1=0有两个不等整数根，从而得出5-4m为平方数，然后根据m的特点，即可确定满足题意的m为整数值代数式；
（2）根据抛物线的顶点在第三象限，可确定m的值，也可确定解析式；
（3）将点M、点N代入，结合y1=y2，可得出x1的方程，从而求出x1与k的关系，利用整体代入可得出代数式的值．
【解析】
（1）由题意可知，△=（2m-1）2-4（m2-1）=5-4m＞0，
又∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，
∴5-4m为平方数，
设k2=5-4m，则满足要求的m值为1，-1，-5，-11，-19…
∴满足题意的m为整数值的代数式为：-n2+n+1（n为正整数）．
（2）∵抛物线顶点在第三象限，
∴只有m=1符合题意，
抛物线的解析式为y=x2+x．
（3）∵点M（x1，y1）与N （x1+k，y2）在抛物线y=x2+x上，
∴，，
∵y1=y2，
∴，
整理得：k（2x1+k+1）=0，
∵点M、N不重合，
∴k≠0，
∴2x1=-k-1，
∴==6．