Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．

Answer

（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；
（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA'=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据四边形ADA'E是菱形，得出点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM上，求出AM和A'M=的值，再在Rt△BA'M中，表示出A'B2，再在Rt△BA'D中，求出法和条件的x；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA'的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2=A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；
【解析】
（1）过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM=
=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴y=（0＜x＜5）．        
（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四边形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，
∴当BD=A'D，即5-x=x时，x=．      

（3）第一种情况：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二种情况：∠BA'D=90°，
∵四边形ADA'E是菱形，∴点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM上，
∵AN=A'N=y=，AM=4，
∴A'M=|4-x|，
在Rt△BA'M中，A'B2=BM2+A'M2=32+（4-x）2，
在Rt△BA'D中，A'B2=BD2+A'D2=（5-x）2-x2，
∴（5-x）2-x2=32+（4-x）2，
解得 x=，x=0（舍去）．             
第三种情况：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即=，∴BA'=，
在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，
（5-x）2+=x2，
解得：x=．        
综上可知当x=、x=时，△A'DB是直角三角形．