Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④．其中正确的序号是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer

①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论；
②由①求证△CGF∽△BCF．利用其对应边成比例即可求得结论；
③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论，
④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．
【解析】
①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，
∴CG∥AE交BF于点G，
∴△BHE也为直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正确．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴=，
∴CG•BF=BC•CF，
∴②正确；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG错误；
④∵△BCG∽△BFC，
∴=，即BC2=BG•BF，
同理CF2=BF•GF，
∴=，
∴④正确，综上所述，正确的有①②④．
故选D．