Question

如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E．延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE且∠BDA=60°．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形？说明理由．

Answer

（1）由角平分线定义和三角形内角和定理，可得∠1+∠3=（∠ABC+∠BAC）=（180°-∠ACB）．又由∠ACB=∠BDA=60°，得到∠1+∠3=60°，即∠BED=∠1+∠3=60°．所以△BDE为等边三角形．
（2）由题意易得△DEC为等边三角形，从而得出DC=EC=DE=BD=EB，则四边形BDCE为菱形．
【解析】
（1）△BDE为等边三角形．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠ABC，∠3=∠BAC．
∴∠1+∠3=（∠ABC+∠BAC）=（180°-∠ACB）．
∵弧AB=弧AB，
∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），
∵∠BDA=60°
∴∠ACB=60°，
∴∠1+∠3=60°．
∴∠BED=∠1+∠3=60°．
∴△BDE为等边三角形．

（2）四边形BDCE为菱形．
∵△BDE为等边三角形，
∴BD=DE=BE．
∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，
∴∠EDC=60°．
又∵∠3=∠4，
∴BD=DC．
∴DE=DC．
∴△DEC为等边三角形．
∴DC=EC=DE=BD=EB．
则四边形BDCE为菱形．