Question

如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合）．将△BCE沿CE对折至△FCE．延长EF交边AD于点G．
（1）连接AF，若AF∥CF，求证：点E为AB的中点；
（2）求证：GF=GD；
（3）若DA=12，设EB=x，DG=y，求y与x的函数关系式．

Answer

（1）利用对折性质和平行线的性质可证明∠EAF=∠EFA，进而证明EF=EA，又因为EB=EF，所以EA=EB，即E为AB中点；
（2）连接CG，利用“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CFG即可；
（3）因为BE=x，则AE=AB-BE=12-x，又因为GF=GD，则AG=AD-DG=12-y，在直角三角形AEG中，利用勾股定理可得：AE2+AG2=EG2，把已知数据代入化简即可得到y与x的函数关系式．
（1）证明：由对折性质得：EB=EF，∠CEB=∠CEF，
∵AF∥CE．
∴∠CEB=∠EAF，∠CEF=∠EFA，
∴∠EAF=∠EFA，
∴EF=EA，
∴EB=EA，
∴点E为AB的中点；                              
（2）证明：连接CG，正方形ABCD中，CD=BC，∠D=∠B=90°，
∵CF=CB，∠CFE=∠B=90°，
∴CF=CD，
∵CG=CG，
∴Rt△CDG≌Rt△CFG，
∴GF=GD；                                   
（3）【解析】
∵BE=x，则AE=AB-BE=12-x，
∵GF=GD，则AG=AD-DG=12-y，
在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，
∴（12-x）2+（12-y）2=（x+y）2，
故y与x的函数关系式y=．