Question

已知抛物线y=ax²+bx+3，与x轴交于A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点D，是以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴l上存在点Q，使△ACQ为直角三角形，请求出点Q的坐标．

Answer

（1）将A（-3，0）、B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，组成关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质及AB的长为4，OC=3，即可轻松得出点D的坐标；
（3）抛物线y=-x2-2x+3与y轴的交点C的坐标为（0，3），设点Q的坐标为（-1，m），然后分三种情况讨论①若∠QAC=90°，△AEQ∽△COA，利用相似三角形的性质解答；②若∠QCA=90°，由△QFC∽△COA，利用相似三角形的性质解答；③若∠CQA=90°，作O1G⊥l于点G，则QG=，O1G=，
由勾股定理得到关于m的方程，解方程求出m的值．
【解析】
（1）依题意，得，
解得，，（2分）
抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
顶点坐标为（-1，4）；

（2）如图，∵AB=4，OC=3，
∴CD1=CD2=AB=4，
D的坐标为D1（-4，3），D2（4，3），
∵D3E=OC=3，AE=OB，可得E点坐标为（-2，0），
∴D3（-2，-3）； 

（3）抛物线y=-x2-2x+3与y轴的交点C的坐标为（0，3），
设点Q的坐标为（-1，m），
①若∠QAC=90°，如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点
为E，则E（-1，0），则AE=2，EQ=-m，
由△AEQ∽△COA，得，
∴，
∴m=-2，
∴点Q的坐标为（-1，-2）；                       
②若∠QCA=90°，如图2，作QF⊥y轴于点F，则QF=1，FC=m-3，
由△QFC∽△COA，得，
∴，
∴m=4，
∴点Q的坐标为（-1，4）；                          
③若∠CQA=90°，如图3，设AC的中点为O1，则O1的坐标为，作O1G⊥l于点G，则QG=，O1G=，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴点Q的坐标为，； 
综上所述，使△ACQ为直角三角形，点Q的坐标为
（-1，-2）、（-1，4）、或．