Question

已知：关于x的一元二次方程：x²-2mx+m²-4=0．
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=x²-2mx+m²-4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C₁，将图形C₁向右平移一个单位，得到图形C₂，当直线y=x+b（b＜1）与图形C₂恰有两个公共点时，写出b的取值范围．

Answer

（1）根据要证方程有两个不相等的实数根，只要证出△=b2-4ac＞0，即可得出答案；
（2）利用二次函数的对称性得出对称轴是y轴，进而得出m的值即可；
（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
（1）证明∵△=（-2m）2-4（m2-4）=16＞0．
∴该方程总有两个不相等的实数根．

（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，
故-2m=0，
解得m=0．
∴此抛物线的解析式为y=x2-4．

（3）如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3，
由图可知符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1时，直线y=x+b；（b＜3）与此图象有两个公共点．