Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．

Answer

（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，求出P点的坐标，然后求得点A、B、C的坐标用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的，故过点A、C作BP的平行线，与抛物线的交点即是满足条件的点M．
（3）将原方程配方后得到抛物线的顶点Q（2，），然后作点P关于y轴的对称点P'，则P’（-2，）．连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P′Q=．
【解析】
（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，
∵⊙P与y轴相切于点A，
∴PA⊥y轴，
∵P（2，），
∴OG=AP=2，PG=OA=，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，），B（1，0），C（3，0），
根据题意设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
则，
解得：a=．
故二次函数的解析式为：．

（2）∵点B（1，0），点P（2，），
∴BP的解析式为：y=x-；
则过点A平行于BP的直线解析式为：y=x+，过点C平行于BP的直线解析式为：y=x-3l2，
从而可得①：x+=x2-x+，
解得：x1=0，x2=7，
从而可得满足题意的点M的坐标为（0，）、（7，8）；
②x-3=x2-x+，
解得：x1=3，x2=4，
从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，）
综上可得点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．

（3）∵=，
∴抛物线的顶点Q（2，）．
作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，）．
连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=．
．