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如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为CD中点,P为BE中点,F为AP中点,...

如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为CD中点,P为BE中点,F为AP中点,FH⊥AB交AB于H,连接PH.则下列结论正确的有( )
①BE=AE;②sin∠PAE=manfen5.com 满分网;③HP∥AE;④HF=1;⑤S△AFC=1.
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
利用全等的判定可判断出①,利用反推法判断②,过点P作PM⊥AB于M,也是利用反推法得出矛盾,从而判断出③,过点P作PM⊥AB于M,过点E作EN⊥AB于点N,利用中位线的知识可求出HP,过点P作PM⊥AB于点M,作PL⊥BC于点L,则根据中位线的知识,可得出PM=2,PL=1,先求出S△AFC,继而可得出S△ABC的值. 【解析】 (1)由于AD=BC,CE=DE,∠BCE=∠ADE,所以△DAE≌△CBE,BE=AE,所以①正确; (2)由于△ABE不是等边三角形而是等腰三角形,而P是BE中点,所以AP并不垂直于BP,BE=2EP,只有当∠APE=90°时sin∠EAP=,但∠EPA并不等于90°,所以②不正确; (3)过点P作PM⊥AB于M, 由于F是AP中点,则HF是△APM的一条中位线,即H是AM中点,不是AB中点,故HP不是△BAE的中位线,也就可得出HP不平行AE,所以③错误; (4)过点P作PM⊥AB于M,过点E作EN⊥AB于点N, 由点P是BE中点可得PM是△BNE的中位线,PM=NE=2,(3)得出了HF是△APM的中位线,HF=PM,故可得HF=PM=1,故④正确; (5) 过点P作PM⊥AB于点M,作PL⊥BC于点L,则根据中位线的知识,可得出PM=2,PL=1,从而求出S△APC=S△ABC-S△ABP-S△BPC=8-2-4=2, 再由AF=FP可得S△AFC=S△ABC=1,故⑤正确. 综上可得①④⑤正确,共三个. 故选C.
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