Question

如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．
（1）求ABCD面积；
（2）求△BEC面积．

Answer

（1）首先过点D作DF∥AC交BC的延长线于F点．易证得四边形ACFD为平行四边形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC边上的高，继而求得四边形ABCD面积；
（2）由AD∥BC，即可证得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE与CE的长，继而求得△BEC面积．
【解析】
（1）过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点．
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD为平行四边形．
∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，
∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DF，
在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，
∴BC边上的高h为：（cm），
∴S四边形ABCD=（AD+BC）h=×（1+4）×=6（cm2）；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∴，，
∴DE=cm，AE=cm，
∴BE=3-DE=3-（cm），EC=4-AE=（cm），
S△BEC=BE•EC=（cm2）．