Question

已知二次函数y=ax²+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．
（1）求y=ax²+bx+c解析式；
（2）将y=ax²+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y=mx²+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据非负数的性质求出a=1，b=-2，再由二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点，得出一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则判别式△=0，从而求出c的值；
（2）先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出y=mx2+nx+k，再分情况讨论△ADP是直角三角形时，可能点P为直角顶点，也可能点A为直角顶点，①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，将y=0代入抛物线的解析式，可求出点P的坐标；②当点A为直角顶点时，根据等腰三角形的性质得出P2、D2关于x轴对称，再由P2在抛物线上，D2在直线AC上可求出点P的坐标；
（3）由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，由于A、P、E三点都在抛物线上，所以不能构成平行四边形；当点P的坐标为抛物线的顶点Q时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知对角线AE的中点与PF的中点重合，由P（2，-1）可设F（x，1），再根据点F在抛物线上列出关于x的方程，解方程即可．
【解析】
（1）∵，
∴a-1=0，b+2=0，
∴a=1，b=-2．
∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴b2-4ac=0，即（-2）2-4×1×c=0，
解得c=1，
故所求抛物线的解析式为y=x2-2x+1；

（2）∵y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴将y=（x-1）2向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y=（x-1-1）2-1，
即y=x2-4x+3．
当△ADP是直角三角形时，分两种情况：
①如果点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，如图，
令y=0，得x2-4x+3=0，
解之得x1=1，x2=3，
∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0），
∴P1（1，0）；
②如果点A为直角顶点时，∠D2AP2=90°，如图，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，PD∥y轴，
∴∠AD2P2=∠ACO=45°，∠AP2D2=45°，
∴P2、D2关于x轴对称．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
将A（3，0），C（0，3）代入上式，得
，
解得，
∴y=-x+3，
∵D2在y=-x+3上，P2在y=x2-4x+3上，
∴设D2 （x，-x+3），P2 （x，x2-4x+3），
∴（-x+3）+（x2-4x+3）=0，
整理，得x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3（，不合题意，舍去），
∴当x=2时，x2-4x+3=4-8+3=-1，
∴P2的坐标为P2 （2，-1）（即为抛物线顶点），
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；

（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形，此时点F的坐标为F1（2-，1），F2（2+，1），理由如下：
由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，-1）时，平移直线AP （如图）交x轴于点E，交抛物线于点F，当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形，
∴AE与PF互相平分，对角线AE的中点与PF的中点重合，
∵P（2，-1），
∴可设F（x，1），
∴x2-4x+3=1，
解得x1=2-，x2=2+，
∴点F存在且坐标为F1（2-，1），F2（2+，1）．