Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的长，设AD=x，则DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，得出方程（x+4）2=42+（3x）2，求出x的值即可求出⊙O的半径．
（1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．   

（2）【解析】
过O作OM⊥AB于M．
即∠OMA=90°，
∵AB=8，
∴由垂径定理得：AM=4，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AD：DC=1：3，
∴设AD=x，则DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=42+OM2．
∴（x+4）2=42+（3x）2，
解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1．
则 OA=MD=x+4=5．
∴⊙O的半径是5．