Question

问题探究：
（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．

Answer

（1）正方形对角线的交点符合点P的要求，作对角线即可；
（2）①以BC为边在正方形内作等边△BCQ；
②作△BCQ的外接圆⊙O，分别与AB、DC交于点M、N，由于在⊙O中，弦BC所对的圆周角均为60°，所上的所有点均为所求的点P．
（3）以BC为边作等边△BCQ；作等边△QBC的外接圆⊙O与AD交于点 P1、P2，点P1、P2即为所求．
【解析】
（1）如图1，画出对角线AC与BD的交点即为点P．               
注：以BC为直径作上半圆（不含点B、C），则该半圆上的任意一点即可．

（2）如图2，以BC为一边作等边△QBC，作△QBC的外接圆⊙O分别与AB，DC交于点 M、N，弧MN即为点P的集合．     

（3）如图3，以BC为一边作等边△QBC，
作△QBC的外接圆⊙O与AD交于点 P1、P2，点P1、P2即为所求．