Question

已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．

Answer

（1）分别讨论k=-1和k≠-1的情况，即可判断出方程根的情况；
（2）首先根据因式分解求出方程的两个根，然后根据方程的根是整数根，求出k的值即可；
（3）根据抛物线y=（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，分别讨论x1-x2=3或x2-x1=3两种情况，求出k的值即可．
【解析】
（1）当k=-1时，方程-4x-4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当k≠-1时，方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=（k-3）2．
∵（k-3）2≥0，即△≥0，
∴k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．  
综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．

（2），x1=-1，x2=．
∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，
∴只存在两种情况：①当k=1时，方程的两根为-1，0；
②当k=3时，方程的两根为-1，-1．
∴正整数k的值是1或3．        

（3）∵抛物线y=（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，
∴x1-x2=3，或x2-x1=3．
当x1-x2=3时，k=-3；
当x2-x1=3时，k=0．
综上，k=0，-3．