Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S_△PDE=S_{四边形ABMC}．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）利用点A、B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P，再利用△PHB∽△CBO求出P点坐标即可；
（3）首先利用A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4）求出S四边形ABMC，进而得出S△PDE=1，利用S△PDE=S四边形PDOE-S△DOE求出m的值即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三点，
∴，
解得  ．
故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1） 2+4，
故顶点M为（1，4）．  

（2）如图1，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．
设对称轴与x轴交于点H，
∵PH∥y轴，
∴△PHB∽△COB．
∴．
由题意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．                

（3）如图2，∵A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4），
∴S四边形ABMC=S△AOC+S梯形COEM+S△MEB=×1×3+（3+4）×1+×4×2=9．
∵S四边形ABMC=9S△PDE，
∴S△PDE=1．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵DE∥PC，
∴∠ODE=∠OED=45°．
∴OD=OE=3-m．
∵S四边形PDOE=，
∴S△PDE=S四边形PDOE-S△DOE=（0＜m＜3）．
∴．
解得，m1=1，m2=2．