Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠α，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D′OC′，直线A D′、B C′相交于点P．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D′、B C′的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．

Answer

（1）由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质与折叠的性质，易证得△BOC′≌△AOD′，则可得AD′=BC′，∠BC′O=∠AD′O，然后由三角形的内角和定理，求得∠APB=∠α；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质与折叠的性质，易证得△AOD′≌△C′OB，则可得AD′=BC′，但是证不出：∠APB=∠α；
（3）由四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质与折叠的性质，易证得△D′OC′≌△AOB，然后由三角形的内角和定理，求得∠APB=180°-∠α．
答：（1）AD′=BC′，∠APB=∠α．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴OC′=OD′=OC=OD，
∵∠C′OD′=∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB=∠C′OD′，
∴∠BOC′=∠AOD′，
在△BOC′和∠AOD′中，
，
∴△BOC′≌△AOD′（SAS），
∴AD′=BC′，∠BC′O=∠AD′O，
∵∠APB=∠C′PD′=180°-∠BC′O-OC′D′-∠PD′C′，∠DOC=∠D′OC′=180°-∠OC′D′-∠PD′C′-∠AD′O，
∴∠APB=∠DOC=∠α；

（2）AD′=BC′仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OC′=OC，OD′=OD，
∴OA=OC′，OB=OD′，
∵∠C′OD′=∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB=∠C′OD′，
∴∠BOC′=∠D′OA，
在△AOD′和△C′OB中，
，
∴△AOD′≌△C′OB（SAS），
∴AD′=BC′；
但是∠APB=∠α不一定成立．

（3）∠APB=180°-∠α． 
证明：如图3，设OC′，PD′交于点E．
∵将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D′OC′，
∴△DOC≌△D′OC′，
∴OD=OD′，OC=OC′，∠DOC=∠D′OC′．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AB=CD，∠ABC=∠DCB．
∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠DBC=∠ACB．
∴OB=OC，OA=OD．
∵∠AOB=∠COD=∠C′O D′，
∴∠BOC′=∠D′O A．
∵OD′=OA，OC′=OB，
∴△D′OC′≌△AOB，
∴∠OD′C′=∠OAB．
∵OD′=OA，OC′=OB，∠BOC′=∠D′O A，
∴∠OD′A=∠OAD′=∠OBC′=∠OC′B．
∵∠C′EP=∠D′EO，
∴∠C′PE=∠C′OD′=∠COD=∠α．
∵∠C′PE+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-∠α．