Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．

Answer

（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE=，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y=，确定反比例函数的解析式为y=-；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．
（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．
【解析】
（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，
∵sin∠AOE=，OA=5，
∴sin∠AOE===，
∴AD=4，
∴DO==3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（-3，4），
将A（-3，4）代入y=，得m=-12，
∴反比例函数的解析式为y=-；
将B（6，n）代入y=-，得n=-2；
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y=-x+2；

（2）在y=-x+2中，令y=0，
即-x+2=0，
解得x=3，
∴C点坐标为（3，0），即OC=3，
∴S△AOC=•AD•OC=•4•3=6．