Question

如图正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN；③EP⊥PN；④ON∥AB，其中正确的是（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④

Answer

连接DP，并延长交AB于Q，连接OP、OD；由于弧APC是以D为圆心、DC为半径，所以DC=DP，而OC、OP都是⊙O的半径，即可证得△DOC≌△DOP，由此可证得DP⊥OP，即DQ切⊙O于点P，然后根据这个条件来判断各选项是否正确．
【解析】
连接DP，并延长DP交AB于Q，连接OP、OD；
∵DC=DP、OC=OP、OD=OD，
∴△DOP≌△DOC，
∴∠DPO=∠DCO=90°，即直线DQ与⊙O相切，且切点为P；
①连接BE，则BE⊥AC；
在等腰Rt△ABC中，BE⊥AC，故AE=EC，（等腰三角形三线合一）
所以①正确；
②由于OP=OP、OC=ON，若PC=PN，就必有△POC≌△PON；
那么必须证得∠CPO=∠NPO；
由于OP⊥DQ，因此∠DPC=∠NPQ，即∠DPA=∠NPQ=∠DPC，
在等腰△ADP和等腰△DPC中，若∠DPA=∠DPC，则∠ADP=∠PDC，显然不成立，
故②错误；
④由于OP⊥DQ，则∠OPQ=90°；
∵∠DAP=∠DPA=∠NPQ，
∴∠NAM=∠OPN=90°-∠DAP=90°-∠NPQ，
又∵∠OPN=∠N，
∴∠NAM=∠N，即ON∥AB；
故④正确；
③连接OE，由于O、E分别是AC、BC的中点，
所以OE是△ABC的中位线，得OE∥AB；
由④得ON∥AB，故N、O、E三点共线，
所以NE是⊙O的直径，连接EP，由圆周角定理可知EP⊥AN；
故③正确；
所以正确的结论是①③④，故选D．