Question

如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．

Answer

（1）要证EF是⊙O的切线，只要证明∠2=90°即可．
（2）连接OC，根据菱形的判定和性质先求出∠EOD=∠B=60°，再根据三角函数的知识求出DE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC．
∴∠1=∠ACB=90°．
∵EF∥AC，
∴∠2=∠1=90°．
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接OC，
∵直径AB=4，
∴半径OB=OC=2．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD=BC=OB=OC=2．
∴∠B=60°．
∵OD∥BC，
∴∠EOD=∠B=60°．
在Rt△EOD中，．