Question

如图，己知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），己知点H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（-2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

Answer

（1）由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解析】
（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；

（2）解法一：
假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=-3时，△HGC不存在．
①当n＞-3时，
可得S△GHA=-++，S△GHC=-m，
∵S△GHC=S△GHA，
∴m+n+1=0，
由，
解得：或，
∵点G在y轴的左侧，
∴G（-，）；
②当-4≤n＜-3时，
可得S△GHA=--，S△GHC=-m，
∵S△GHC=S△GHA，
∴3m-n-1=0，
由，
解得：或，
∵点G在y轴的左侧，
∴G（-1，-4）．
∴存在点G（-，）或G（-1，-4）．
解法二：
①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，
∴S△GHC=S△GHA，
可得AC的解析式为y=3x-3，
∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x-1，
∴G（-1，-4）；
②如图②，当GH与AC不平行时，
∵点A，C到直线GH的距离相等，
∴直线GH过线段AC的中点M（，-）．
∴直线GH的解析式为y=-x-1，
∴G（-，），
∴存在点G（-，）或G（-1，-4）．

（3）解法一：
如图③，∵E（-2，0），
∴D的横坐标为-2，
∵点D在抛物线上，
∴D（-2，-3），
∵F是OC中点，
∴F（0，-），
∴直线DF的解析式为：y=x-，
则它与x轴交于点Q（2，0），
则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴，
得：PB•DP=，
∵PB+DP=BD=，
∴PB=，
即P是BD的中点，
连接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=BD=．

解法二：
可知四边形ABDC为等腰梯形，取BD的中点P′，
P′F=（OB+CD）=，
P′F∥CD∥AB，
连接EF，可知EF=DF=，
即EF=FP′=FD，
即△FEP′相似△FP′D，
即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，
即∠EP′F和∠EPF重合，
即P和P′重合，
P为BC中点，
PE=BD=（△BDE为直角三角形）．