Question

如图：AB和CD是两堵和地面BC垂直的墙，两堵墙之间的距离是14米，一个10米长的梯子下端支在地面上某点，上端靠在墙上．
（1）梯子上端靠在AB上一点E处，梯子与地面的夹角∠EMB=60°，保持下端M点不变，把梯子上端靠在CD上一点F处，梯子与地面的夹角∠FMC的正切值等于多少？
（2）如果把梯子下端固定在地面上某一点N处时，可以使梯子上端靠墙AB和靠墙CD得到的两个三角形全等，求这时BN的长度．

Answer

（1）利用cos60°=，求出BM的长，进而利用勾股定理求出FC，即可求出梯子与地面的夹角∠FMC的正切值；
（2）利用当BN=NC时，当BN=FC时根据全等三角形的判定分别求出BN的长即可．
【解析】
（1）在Rt△EBM中，
∵∠EMB=60°，EM=10，
∴cos60°=，
BM=EMcos60°=10×=5，
∴MC=14-5=9（m），
∵FM=10，
∴FC==，
∴tan∠FMC=；
答：梯子与地面的夹角∠FMC的正切值等于；

（2）当BN=NC时，EN=FN=10，
在Rt△EBN和Rt△FCN中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△FCN（HL），
此时N为BC中点，故BN=7，
当BN=FC时，
在Rt△EBN和Rt△NCF中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△NCF（HL），
设BN=x，则NC=14-x，FC=x，
∵FN 2=NC 2+FC 2，
∴10 2=（14-x）2+x 2，
解得：x1=6，x2=8，
故BN=6或8．
综上所述：BN的长为6，7，8时，可以使梯子上端靠墙AB和靠墙CD得到的两个三角形全等．