Question

如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．

Answer

（1）首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AE=BD，再根据DC=DB可得AE=DC，进而证出四边形ADCE是平行四边形，可得AD=EC；
（2）当∠BAC=90°时，可证出AD=DC，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ADCE是菱形；
（3）根据菱形的性质计算出AO=DE=2DO=2a，再根据勾股定理计算出AD的长，进而得到菱形ADCE的周长．
证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵D是BC中点，
∴DC=DB，
∴AE=DC，AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=EC；

（2）∵当∠BAC=90°时，AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴AD=，
∴四边形ADCE是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）∵四边形ADCE是菱形，
∴对角线AC⊥DE且O是DE中点，
∵ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
又已知AB=AO
∴AO=DE=2DO=2a，
在Rt△AOD中，可求出AD=，
∴菱形ADCE的周长为4．