Question

如图：在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C两点，与y轴相交于D、E两点．
（1）若抛物线经过C、D两点，求此抛物线的解析式，并判断点B是否在这条抛物线上？
（2）过点E的直线y=kx+m交x轴于F（，0），求此直线的解析式，这条直线是⊙A的切线吗？请说明理由；
（3）探索：是否能在（1）中的抛物线上找到一点Q，使直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于？若能，请直接写出Q点坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）连接AE，利用垂径定理可求出点D的坐标为（0，-4），根据圆的半径为5，可得出点C的坐标为（8，0），利用待定系数法求解即可；
（2）根据直线经过点E（0，4），可设直线解析式为y=kx+4，将点F的坐标代入可得出直线解析式，分别求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判断出∠AEF为直角，继而根据切线的判定可得出结论；
（3）由（1）得点B在抛物线上，设点Q的坐标为（x，x2-x-4），分别讨论点Q的位置，①点Q在x轴上方，②点Q在x轴下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．
【解析】
连接AE，

由题意得，OD=OE=4，
故可得：C、D两点坐标为：C（8，0），D（0，-4），
把C、D两点坐标代入中，
得：，
 解得：，
故所求二次函数为：，
∵B点坐标为（-2，0），
∴当x=-2时，，
∴点B在这条抛物线上．

（2）因为直线经过点E（0，4），可设解析式为：y=kx+4，
把点F（，0）代入上式得：，
故所求一次函数为：，
在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2=16+=，
在△AEF中，AF=3+，
即，
∴EF2+AE2=+25==AF2，
∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切线．
（3）能找到这样的点Q，
设存在点Q（x，x2-x-4），
∵直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于，
①若点Q在x轴上方时，此时=，
解得：x1=9，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（9，）；
②若点Q在x轴下方时，=，
解得：x1=7，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（7，-）．
故可得存在点Q的坐标，其坐标分别为：（9，） 和 （）．