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在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠A...

在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板绕点C旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想DE与BF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)问条件下,若BE:CE=1:2,∠BEC=135°,求sin∠BFE的值;
(3)当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时,作DH⊥PE于H,如图2,若OF=manfen5.com 满分网时,求PE及DH的长.manfen5.com 满分网
(1)相等,证DE与BF所在的三角形全等即可; (2)易得∠BEF=90°,那么可得到△BEF各边的比值进而求解; (3)根据△CFP∽△CDO,利用相似三角形的性质解答. 【解析】 (1)当三角板旋转到图1的位置时,DE=BF, ∵∠ECB+∠BCF=90°,∠DCE+∠ECB=90°, ∴∠DCE=∠BCF. ∵∠BCD=90°,AB∥CD ∴∠ABC=90°,∠BAC=∠ACD, ∵BC=2,AB=1, ∴tan∠BAC=2, ∵tan∠ADC=2, ∴∠BAC=∠ADC, ∴∠ACD=∠ADC, ∴AD=AC, 作AM⊥CD于点M, ∴CD=2MC=2AB=2, ∴CD=BC. ∵EC=CF, ∴△DCE≌△BCF. ∴DE=BF. (2)∵∠BEC=135°,∠FEC=45°, ∴∠BEF=90°. ∵BE:CE=1:2, ∴BE:EF=1:2. ∴sin∠BFE=BE:BF=. (3) ∵△CFP∽△CDO, CF:CD=CP:CO=PF:DO AC=, AO:CO=1:2,CO=, CF=-=, :2=CP:, CP=, ∵DB=2,BO:DO=1:2, ∴DO=, ∴PF=,PE=×-=, DP=2-=, 做CN垂直PF于N, DH:CN=DP:CP, DH:=:, DH=. 故PE=,DH=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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