Question

如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是的中点，
①试判断过点C所作的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
②设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD于E，证明BE是⊙O的切线；
③在②的条件下，若AB=10cm，求△BDE的面积．

Answer

①过C作圆O的切线CN，CN∥AB，理由为：连接OP，OC并延长交AB于点F，连接OB，由P为弧BC的中点，利用垂径定理的逆定理得到OP垂直于BC，M为BC的中点，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠BOC的度数，进而确定出∠BCF的度数，由CN为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OCN为直角，求出∠BCN=∠ABC=60°，利用内错角相等两直线平行即可得证；
②根据题意画出相应的图形，由∠BOC的度数求出∠COP为60°，再由OP=OC得出三角形OCP为等边三角形，求出∠OCP为60°，进而确定出∠BCP为30°，而∠OBC也为30°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OB与CD平行，由BE垂直于CD，得到的BE垂直于OB，而OB为圆的半径，即可得到BE为圆O的切线；
③由OB与CD平行，利用两直线平行同位角相等得到∠D为30°，确定出∠D=∠BCD，利用等角对等边得到BD=BC，由等边三角形ABC边长为10cm，得到BC为10cm，而三角形BDE与三角形BCE面积相等，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长，再利用勾股定理求出EC的长，由BE与EC乘积的一半求出三角形BCE的面积，即为三角形BDE的面积．
【解析】
①过C作圆O的切线CN，CN∥AB，理由为：
连接OP，OC并延长交AB于点F，连接OB，
∵P为的中点，
∴OP⊥BC，M为BC的中点，
∵∠A和∠BOC都为所对的角，
∴∠BOC=2∠A=120°，又OB=OC，
∴∠BCF=30°，
∵CN为圆O的切线，∴∠OCN=90°，
∴∠BCN=∠ABC=60°，
∴CN∥AB；
②根据题意画出图形，如同所示，
∵∠BOC=120°，OM为∠BOC的平分线，
∴∠COM=60°，又OP=OC，
∴△OCP为等边三角形，
∴∠OCP=60°，又∠BCF=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠OBC=30°，
∴∠OBC=∠BCD，
∴OB∥CD，
∵BE⊥CD，
∴OB⊥BE，又OB为圆的半径，
∴BE为圆O的切线；
③∵OB∥DC，
∴∠FBO=∠D=30°，
∴∠BCD=∠D，
∴BD=BC，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=10cm，
∴BD=BC=10cm，
在Rt△BEC中，BC=10cm，∠BCE=30°，
∴BE=BC=5cm，根据勾股定理得：EC==5cm，
又∵BE⊥CD，
∴S△BDE=S△BCE=BE•EC=×5×5=．