满分5 > 初中数学试题 >

如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),...

如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒manfen5.com 满分网个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
(1)当t为何值时,点M与点O重合;
(2)求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
manfen5.com 满分网
(1)当M,O重合时,△PON是等边三角形,因此∠AMP=30°,OA=2AP,可根据OB的长和∠OAB的度数求出OA的长,即可求出AP的长,然后根据P点的速度即可求出t的值. (2)可通过构建直角三角形求解.过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S.可在直角三角形APQ中,用AP的长和∠OQP的度数求出AQ的长,也就求出了OQ和PS的长,然后在直角三角形PSM中,可根据PS的长和∠PMN的度数求出等边三角形PMN的边长. (3)本题要分两种情况进行讨论: ①当F点在PM右侧时,即当0≤t≤1时,重合部分是个直角梯形. ②当PM和PN都与线段EF相交时,即当1<t≤2时,重合部分是个五边形,设PM,PN与EF的交点分别为I,G,那么重合部分的面积可用梯形FGNO的面积-三角形FQI的面积来求得. 可根据上述两种情况求出S,t的函数关系式.根据函数的性质和自变量的取值范围即可求得S的最大值及对应的t的值. 【解析】 (1)点M与点O重合. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABO=30°,∠BAO=60°. 由OB=12, ∴AB=8,AO=4. ∵△PON是等边三角形, ∴∠PON=60度. ∴∠AOP=30度. ∴AO=2AP,即4=2t, 解得t=2. ∴当t=2时,点M与点O重合. (2)如图①,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S, 可求得AQ=AP=,PS=QO=OA-AQ=4-. QP=AQcot30°=×=t. ∴点P坐标为(,4-). 在Rt△PMS中,sin60°=, ∴PM=(4-)÷=8-t. (3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,见图②. 设PN交EF于点G,则重叠部分为直角梯形FONG, 作GH⊥OB于点H. ∵∠GNH=60°,GH=2, ∴HN=2. ∵MP=8-t, ∴BM=2MP=16-2t. ∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t. ∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t. ∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t. ∴S=(2+t+4+t)×2=2t+6. ∵S随t的增大而增大, ∴当t=1时,S最大=8. (Ⅱ)当1<t≤2时,见图③. 设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G. 重叠部分为五边形OQIGN. OQ=4-2t,FQ=2-(4-2t)=2t-2,FI=FQ=2t-2. ∴三角形QFI的面积=(2t-2)(2t-2)=2(t2-2t+1). 由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面积=2t+6, ∴S=2t+6-2(t2-2t+1)=-2(t2-3t-2). ∵-2<0, ∴当t=时,S有最大值,S最大=. 综上所述:当0≤t≤1时,S=2t+6;当1<t≤2时,S=-2t2+6t+4; ∵>8, ∴S的最大值是.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在y正半轴上,OC在x正半轴上,点D是线段OC上一点,过点D作DE⊥AD交直线BC于点E,以A、D、E为顶点作矩形ADEF.
(1)求证:△AOD∽△DCE;
(2)若点A坐标为(0,4),点C坐标为(7,0).
①当点D的坐标为(5,0)时,抛物线y=ax2+bx+c过A、F、B三点,求点F的坐标及a、b、c的值;
②若点D(k,0)是线段OC上任意一点,点F是否还在①中所求的抛物线上?如果在,请说明理由;如果不在,请举反例说明;
(3)若点A的坐标是(0,m),点C的坐标是(n,0),当点D在线段OC上运动时,是否也存在一条抛物线,使得点F都落在该抛物线上?若存在,请直接用含m、n的代数式表示该抛物线;若不存在,请说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
“五一”间,我市先后有两批游客分别乘中巴车和小轿车沿相同路线从长春市赶往大连市区旅游,如图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象.
(1)根据图象,请分别直接写出中巴车和小轿车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式(不要求写自变量的取范围);
(2)直接写出中巴车和小轿车行驶速度各是多少?
(3)试求小轿车出发后多长时间赶上中巴车?

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2manfen5.com 满分网
(1)求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求manfen5.com 满分网的长.

manfen5.com 满分网 查看答案
(1)操作发现:
如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论.
(2)类比探究:
如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
manfen5.com 满分网
查看答案
如图,港口B在港口A的西北方向,上午8时,一艘轮船从港口A出发,以15海里∕时的速度向正北方向航行,同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行,上午10时轮船到达D处,同时快艇到达C处,测得C处在D处得北偏西30°的方向上,且C、D两地相距100海里,求快艇每小时航行多少海里?(结果精确到0.1海里∕时,参考数据manfen5.com 满分网≈1.41,manfen5.com 满分网≈1.73)

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.