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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,P是AB边上的一...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P作PQ⊥AC于Q,以PQ为边向下作等边三角形PQR.设AP=x,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,连接RB.
(1)当x=2时,求y的值;
(2)当x取何值时,四边形AQRB是等腰梯形;当x取何值时,四边形PQRB是平行四边形.

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第(1)问比较简单,根据在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以直接求出y的值; 第(2)问从特殊四边形的结论出发,去找x的取值,用到了等腰梯形的性质,三角形全等的判定与性质,平行四边形的性质以及方程等知识. 【解析】 (1)∵∠A=30°,∠AQP=90°, ∴QP=AP=1. 此时△PQR在△ABC内,y=S△PQR=; (2)①∵四边形AQRB是等腰梯形, ∴BR=AQ,∠PBR=∠A=30°. ∵∠APQ=∠RPQ=60°, ∴∠BPR=60°. 又∵PR=PQ, ∴△BPR≌△APQ. ∴BP=AP=. ∴AP==5. ∴当x=5时,四边形AQRB是等腰梯形. ②要使四边形PQRB是平行四边形,则R应在BC上. ∵△PQR是等边三角形, ∴QR=PQ=. 又∵四边形PQRB是平行四边形, ∴BP=QR=. ∴AB=x+=10, 解得. ∴当时,四边形PQRB是平行四边形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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