Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y，
（1）求证：△ADQ∽△PBA，并求出y关于x的函数解式；
（2）当点P运动时，△APQ的面积S是否会发生变化？若发生变化，请说明理由：若不发生变化，请求出S的值；
（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．

Answer

（1）根据翻折的性质知：∠QAD=∠DAE=∠APB，由此可证得△QAD∽△APB，根据相似三角形所得比例线段即可求得y、x的函数关系式．
（2）由翻折的性质易证得△ADE≌△ADQ，可得QD=DE，即QE=2y，而△AQP的面积可由QE•BP的一半（即QD•BP）求得，由（1）知，QD•BP为定值即12，因此△APQ的面积是不会变化的．
（3）若⊙Q与直线AP相切，且半径为4，根据△APQ的面积即可求得AP的长，进而可得∠APB、∠QAD的度数，从而根据AD的长求得AQ的值；然后分⊙A与⊙Q内切、外切两种情况分类求解即可．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，
∴=，即=，
∴y=，定义域为x＞0．

（2）不发生变化，
证明：在△ADE和△ADQ中，
∵，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ
=QE•AD+QE•CP
=QE（AD+CP）
=QE•BP=DQ•BP
=y×（x+4）
=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4，
∵S△APQ=12，
∴AP=6，
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°，
∴∠PAQ=60°，此时BC=AD=4，DE=AD•tan30°=，
∴AQ=EQ=2DE=，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即=r+4，
∴r=-4．
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即=r-4，
解得：r=+4．
综上所述，⊙A的半径为-4或+4．