Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F
（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；
（2）若当△EFG的面积为时，点G恰在的图象上，求k的值；
（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．

Answer

（1）判断出四边形BODE是矩形，根据矩形的对边相等可得BE、DE的长度，再根据点A、点D的坐标求出AB、BE的长度，然后根据AE=AB-BE，计算即可求出AE，求出CD的长度，然后利用勾股定理求出CE的长度，再根据△OCF和△AEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EF与FC的比值，即可得解；
（2）求出直线OA的解析式，然后求出GD的长度，从而可得EG的长度，过点F作FH⊥GD于点H，根据∠CED的正弦值求出FH的长度，再利用△EFG的面积列式求出t的值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可；
（3）当AC为平行四边形的对角线时，根据中点公式求出平行四边形的中心坐标，再根据中心与点Q的坐标求出点R的坐标，然后根据点R在反比例函数图象上，把点R的坐标代入反比例函数解析式，计算求出t的值，即可得到点R的坐标，当CQ、AQ为平行四边形的对角线时，同理求解即可．
【解析】
（1）∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），DE⊥x轴，
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE==5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴==，
∴EF=×5=5-t；

（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=x，
∵点D（t+3，0），
∴GD=（t+3），
EG=4-（t+3）=（5-t），
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED==，
即=，
解得FH=（5-t），
S△EFG=EG•FH=×（5-t）×（5-t）=（5-t）2=，
整理得，（5-t）2=16，
解得t1=1，t2=9（不合题意，舍去），
∴GD=（1+3）=2，
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，=2，
解得k=8；

（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（，2），
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=，
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t2+6t-12=0，
解得t1=-3-（舍去），t2=-3+，
∵8+t=8+（-3+）=5+，4-2t=4-2（-3+）=10-2，
∴点R的坐标为（5+，10-2），
②当CQ是平行四边形的对角线时，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（，t），
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=图象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t2-10t+12=0，
解得t1=5+（舍去），t2=5-，
∵t-8=5--8=-3-，2t-4=2（5-）-4=6-2，
∴点R的坐标是（-3-，6-2）；
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=图象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t2-6t-12=0，
解得t1=3-（舍去），t2=3+（舍去），
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+，10-2）或，（-3-，6-2），使得以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．