Question

如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE长为半径的小半圆交AB于E，F两点，弦AC是小半圆的切线，D为切点，已知，AO=4，AC=4，则图中阴影部分的面积等于    ．

Answer

连接OC，由垂径定理求出AD=DC=2，由勾股定理求出OD=2=AO，求出∠A=30°=∠ACO，∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，分别求出扇形AOC的面积、△AOC的面积、扇形DOF的面积、△ADO的面积、大半圆的面积，代入阴影部分的面积（S大半圆-（S扇形AOC-S△AOC）-S△ADO-S扇形DOF）求出即可．
【解析】

连接OC，
∵AC切小半圆于D，
∴OD⊥AC，
∴由垂径定理得：AD=DC=2，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：OD=2=AO，
∴∠A=30°=∠ACO，
∴∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，
∴扇形AOC的面积是：=π，
△AOC的面积是×AC×OD=×4×2=4，
扇形DOF的面积是：=π，
△ADO的面积是×AD×OD=2，
大半圆的面积是π×42=16π，
∴阴影部分的面积是：S大半圆-（S扇形AOC-S△AOC）-S△ADO-S扇形DOF
=16π-（π-4）-2-π
=2+π．
故答案为：2+π．