Question

如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（I）求证：AP是⊙O的切线；
（II）若⊙O半径为4，AP=，求BP的长．

Answer

（I）连接OP，证OP⊥AP即可；可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；
（II）由（Ⅰ）可知三角形AOP是直角三角形，利用已知数据和特殊角的三角函数即可求出BP的长．
（I）证明：连接OP，
∵BE是⊙O的直径，PD⊥BE，∠POC=∠DOC，
∵∠APD+∠A=90°，∠CPO+∠POA=90°，
而∠AOD=∠APC，
∴∠POC=∠APD，
∴∠A=∠DPO，
从而∠DPO+∠APD=90°，
即OP⊥AP，
∴AP是⊙O的切线；

（Ⅱ）【解析】
∵OP⊥AP，
∴△AOP是直角三角形，∠APO=90°
∵，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴∠OPC=30°，
∴∠POB=60°，
∴PB=OP=4．