Question

在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．
（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y．
①求当t=4，8，14时，y的值．
②求y关于t的函数解析式．
（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图象如图3所示．
①P，Q两点在第______秒相遇；正方形ABCD的边长是______
②点P的速度为______单位长度/秒；点Q的速度为______单位长度/秒．
③当t为何值时，重叠部分面积S等于9？

Answer

（1）①由于正方形ABCD的边长为12，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，且运动速度为2单位长度/秒，所以首先确定t=4，8，14时P点所在的位置，然后根据重叠部分的形状，运用相应的面积公式即可求出对应的y值；
②由于点P在每一条边上运动的时间为6秒，所以分三种情况进行讨论：（Ⅰ）当0≤t≤6，即点P在边AB上时；（Ⅱ）当6＜t≤12，即点P在边BC上时；（Ⅲ）当12＜t≤18，即点P在边CD上时．针对每一种情况，都可以根据重叠部分的形状，运用相应的面积公式求出对应的y关于t的函数解析式；
（2）①由于t=0时，点P与A点重合，点Q与D点重合，此时S=16=S正方形ABCD，所以得出正方形的边长=4；又因为S=0，P，Q两点相遇，而此时对应的t=4，所以P，Q两点在第4秒相遇；
②由于S与t的函数图象由5段组成，而只有当P，Q相遇于C点时图象分为5段，其余情况图象分为6段，所以P，Q相遇于C点，根据时间相同时，速度之比等于路程之比得出点P的速度是点Q的速度的2倍，再由t=4时，P、Q两点运动的路程之和等于AB+BC+CD，据此列出方程，求解即可；
③设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积S等于9．由于P、Q两点都在边长为4的正方形的三边上运动，点P在每一条边上运动的时间是2秒，点Q在每一条边上运动的时间是4秒，所以分五种情况进行讨论：（Ⅰ）当0≤t≤2，即点P在边AB上，点Q在边CD上时；（Ⅱ）当2＜t≤4，即点P在边BC上，点Q在边CD上时；（Ⅲ）当4＜t≤6，即点P在边CD上，点Q在边CB上时；（Ⅳ）当6＜t≤8，即点P与D点重合，点Q在边CB上时；（Ⅴ）当8＜t≤12，即点P与D点重合，点Q在边AB上时．针对每一种情况，都可以根据重叠部分的形状，运用相应的面积公式求出用含t的代数式表示S的式子，然后令S=9，解方程，如果求出的t值在对应的范围内，则符合题意；否则，不符合题意，舍去．
【解析】
（1）∵正方形ABCD的边长为12，∴S正方形ABCD=122=144．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=6．
①（Ⅰ）当t=4时，如图1①．
∵AP=2×4=8，OA=6，
∴S△OAP=×AP×OA=24，
∴y=S正方形ABCD-S△OAP=144-24=120；
（Ⅱ）当t=8时，如图1②．
∵AB+BP=2×8=16，AB=12，
∴BP=4，∴CP=12-4=8，
∴y=（OD+CP）×CD=×（6+8）×12=84；
（Ⅲ）当t=14时，如图1③．
∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，
∴DP=12×3-28=8，
∴y=S△ODP=×DP×OD=24；

②分三种情况：
（Ⅰ）当0≤t≤6时，点P在边AB上，如图1①．
∵AP=2t，OA=6，
∴S△OAP=×AP×6=6t，
∴y=S正方形ABCD-S△OAP=144-6t；
（Ⅱ）当6＜t≤12时，点P在边BC上，如图1②．
∵AB+BP=2t，AB=CD=12，
∴CP=24-2t，
∴y=（OD+CP）×CD=×（6+24-2t）×12=180-12t；
（Ⅲ）当12＜t≤18时，点P在边CD上，如图1③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，
∴DP=36-2t，
∴y=S△ODP=×DP×OD=108-6t．
综上可知，y=；

（2）①∵t=0时，S=S正方形ABCD=16，
∴正方形ABCD的边长=4．
∵t=4时，S=0，
∴P，Q两点在第4秒相遇；
②∵S与t的函数图象由5段组成，
∴P，Q相遇于C点，
∵时间相同时，速度之比等于路程之比，而点P运动的路程=点Q运动的路程的2倍，
∴点P的速度=点Q的速度的2倍．
设点Q的速度为a单位长度/秒，则点P的速度为2a单位长度/秒．
∵t=4时，P，Q相遇于C点，正方形ABCD的边长为4，
∴4（a+2a）=4×3，
∴a=1．
故点P的速度为2单位长度/秒，点Q的速度为1单位长度/秒；

③∵正方形ABCD的边长为4，∴S正方形ABCD=16．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=2．
设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积S等于9．
分五种情况进行讨论：
（Ⅰ）当0≤t≤2时，点P在边AB上，点Q在边CD上，如图2①．
∵AP=2t，DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S正方形ABCD-S△OAP-S△ODQ=16-2t-t=16-3t，
∴16-3t=9，
解得t=（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）当2＜t≤4时，点P在边BC上，点Q在边CD上，如图2②．
∵AB+BP=2t，AB=4，∴BP=2t-4，
∵DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S正方形ABCD-S梯形OABP-S△ODQ=16-×（2t-4+2）×4-×2t=20-5t，
∴20-5t=9，
解得t=；
（Ⅲ）当4＜t≤6时，点P在边CD上，点Q在边CB上，如图2③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=4，∴DP=12-2t，
∵DC+CQ=t，∴BQ=8-t，
∴S=S正方形ABCD-S梯形OABQ-S△ODP=16-×（2+8-t）×4-×2×（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=9，
解得t=（不合题意，舍去）；
（Ⅳ）当6＜t≤8时，点P与D点重合，点Q在边CB上，如图2④．
∵DC+CQ=t，DC=4，∴CQ=t-4，
∴S=S梯形ODCQ=×（t-4+2）×4=2t-4，
∴2t-4=9，
解得t=；
（Ⅴ）当8＜t≤12时，点P与D点重合，点Q在边AB上，如图2⑤．
∵DC+CB+BQ=t，DC=CB=AB=4，∴AQ=12-t，
∴S=S正方形ABCD-S△OAQ=16-×2×（12-t）=4+t，
∴4+t=9，
解得t=5（不合题意，舍去）．
综上可知，当t为或时，重叠部分面积S等于9．
故答案为：（2）①4，4；②2，1．