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如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙...

如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E.
(1)求证:∠OPB=∠AEC;
(2)若点C为半圆manfen5.com 满分网的三等分点,请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形?并说明理由.

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(1)根据题意得PB⊥AB.则∠OPB+∠POB=90°.再由OP⊥BC,得∠ABC+∠POB=90°.即可得出∠ABC=∠OPB.又∠AEC=∠ABC,得∠OPB=∠AEC; (2)四边形AOEC是菱形.有两种解法:根据题意得出=.再由C为半圆的三等分点,得==.即∠ABC=∠ECB.从而得出AB∥CE,AC⊥BC.AC∥OE,四边形AOEC是平行四边形.又OA=OE,从而得出四边形AOEC是菱形. (1)证明:∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线, ∴PB⊥AB. ∴∠OPB+∠POB=90°.(1分) ∵OP⊥BC, ∴∠ABC+∠POB=90°. ∴∠ABC=∠OPB.(2分) 又∠AEC=∠ABC, ∴∠OPB=∠AEC.(3分) (2)【解析】 四边形AOEC是菱形. 证法一:∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E, ∴=.(4分) ∵C为半圆的三等分点, ∴==. ∴∠ABC=∠ECB.(5分) ∴AB∥CE.(6分) ∵AB是⊙O的直径, ∴AC⊥BC.(7分) 又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E, ∴AC∥OE.(8分) ∴四边形AOEC是平行四边形.(9分) 又 OA=OE, ∴四边形AOEC是菱形.(10分) 证法二:连接OC. ∵C为半圆的三等分点, ∴∠AOC=60°. ∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°. 由(1),得∠POB=90°-∠OPB=60°. ∴∠ECB=30°. ∴∠ABC=∠ECB=30°. ∴AB∥CE. ∵AB是⊙O的直径, ∴AC⊥BC. 又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E, ∴AC∥OE. ∴四边形AOEC是平行四边形. 又 OA=OE, ∴四边形AOEC是菱形. 证法三:连接OC,则OC=OA=OE. ∵C为半圆的三等分点, ∴∠AOC=60°. ∴△AOC为等边三角形. ∴AC=AO. ∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E, ∴=. ∵C为半圆的三等分点, ∴==. ∴AC=CE. ∴AC=CE=OA=OE. ∴四边形AOEC是菱形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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