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已知抛物线C1如图1所示,现将C1以y轴为对称轴进行翻折,得到新的抛物线C2. ...

已知抛物线C1如图1所示,现将C1以y轴为对称轴进行翻折,得到新的抛物线C2
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)在图1中,将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,请直接(不需要写过程)写出矩形的周长;
(3)如图2,若抛物线C1的顶点为M,点P为线段BM上一动点(不与点M、B重合),PN⊥x轴于N,请求出PC+PN的最小值.
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(1)根据图象求出点A、B关于y轴的对称点,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可; (2)分①AO、CO为一边时,矩形的长与宽分别是CO、AO,然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解,②AC为一边时,先根据勾股定理求出AC的长度,再利用三角形的面积求出点O到AC的长度,即为矩形的宽,然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解; (3)作点C关于直线BM的对称点C′,过C′作C′N⊥x轴交BM于点P,此时PC+PN最小,然后对称性求出抛物线C1的解析式,再求出点M的坐标,然后利用待定系数法求直线解析式求出BM的解析式,再根据互相相垂直的直线的解析式的k值互为负倒数求出直线CC′的解析式,与直线BM的解析式联立求出交点坐标,然后根据中点坐标公式求出点C′的纵坐标,绝对值即为PC+PN的最小值. 【解析】 (1)根据图形,点A、B关于y轴的对称点分别为(1,0)(-2,0),点C的坐标为(0,-2), 设抛物线C2的解析式为y=ax2+bx+c, 则, 解得, 所以,抛物线C2的解析式为y=x2+x-2; (2)①AO、CO为一边时,都是以CO、AO为长与宽的矩形, ∵A(-1,0)C(0,-2), ∴AO=1,CO=2, ∴周长为:2(1+2)=2×3=6, ②AC为一边时,根据勾股定理,AC===, 根据三角形的面积,设点O到AC的距离为h,则וh=×1×2, 解得h=, 所以,周长为2(+)=; (3)根据轴对称与最短距离问题,作点C关于直线BM的对称点C′,过C′作C′N⊥x轴交BM于点P,此时PC+PN最小, 根据对称性,抛物线C1的解析式为y=x2-x-2=(x-)2-, 所以,顶点M的坐标为(,-), 设直线BM的解析式为y=kx+b, 则, 解得, 所以,直线BM的解析式为y=x-3, ∵直线CC′与直线BM垂直,且经过点C(0,-2), ∴直线CC′的解析式为y=-x-2, 联立, 解得, ∴交点坐标,即CC′的中点坐标为(,-), 根据中点坐标,C′的纵坐标为2×(-)-(-2)=-+2=-, ∵|-|=, ∴PC+PN的最小值为.
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考点分析:
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【解析】
把二次三项式x2-2x-3分解因式,得:x2-2x-3=(x-1)2-4=(x-3)(x+1),又x2-2x-3<0,
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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