Question

如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=-x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S₁、S₂，S=S₂-S₁，求S的最大值．

Answer

（1）把A点的坐标代入反比例函数与一次函数的解析式，求出m，b即可；
（2）设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，-x+4），求出四边形MDOC和MDEN的面积，代入求出S=（-x2+4x）-3，把上式化成顶点式，即可求出答案．
（1）【解析】
把A（1，3）的坐标分别代入y=、y=-x+b，
∴m=xy=3，3=-1+b，
∴m=3，b=4．

（2）【解析】
由（1）知，反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=-x+4，
∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，
∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，-x+4），其中，x＞0，
又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，
∴S1=x•=3，S2=x•（-x+4）=-x2+4x，
∴S=S2-S1=（-x2+4x）-3=-（x-2）2+1．其中，x＞0，
∵a=-1＜0，开口向下，
∴有最大值，
∴当x=2时，S取最大值，其最大值为1．