Question

如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD²+AE²的值．

Answer

（1）①AD与BE相等且垂直；
②根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠CBE，设AD、BE交点为G，再求出∠ABG+∠BAG=90°，然后得到∠AGB=90°，从而得证；
（2）先求出∠ACD=∠BCE，然后利用夹角相等，两边对应成比例判定出△ACD和△BCE相似，根据相似三角形对应角相等可得∠CAD=∠CBE，设AD、BE交点为G，再求出∠ABG+∠BAG=90°，然后得到∠AGB=90°，但相似三角形对应边不一定相等；
（3）根据勾股定理求出AG2+BG2=AB2，DG2+EG2=DE2，然后求出BD2+AE2=AB2+DE2，然后利用勾股定理求出AB2，DE2，然后进行计算即可得解．
【解析】
（1）①如图1，结论：AD=BE，AD⊥BE；
②如图2AD=BE，AD⊥BE仍然成立．
∵△ABC、△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（2）如图5，AD⊥BE成立，AD=BE不成立．
∵△ABC、△DEF是直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
∵AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb，
∴==，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，==，
∵a≠b，
∴AD=BE不成立，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（3）在Rt△ABG中，AG2+BG2=AB2，
在Rt△DEG中，DG2+EG2=DE2，
∴AB2+DE2=AG2+BG2+DG2+EG2=（BG2+DG2）+（AG2+EG2）=BD2+AE2，
∵a=4，b=3，k=，
∴AC=a=4，BC=b=3，CD=ka=2，CE=kb=，
根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=42+32=25，
DE2=CD2+CE2=22+（）2=，
∴BD2+AE2=25+=．