Question

二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象交y轴于C点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．
（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B两点坐标；将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式；
（2）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值；
（3）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，因为M，N的位置不确定，所以要分三种情况讨论，求出满足题意的n值即可．
【解析】
（1）∵一元二次方程x2-4x-12=0的两个根，分别是x=-6或2，点A、点B的横坐标是方程的两个根，点A在点B的左侧，
∴A（-2，0）、B（6，0），将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
，
解得，
故y=-x2+2x+6；

（2）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，
=（）2=（）2，
即S△BDQ=（m-6）2，
又∵S△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24-（m-6）2-（3m+6）=-m2+m+=-（m-2）2+6，
∴当m=2时，S最大；

（3）∵MN=，点A，B都在直线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为n，纵坐标也为n，
如图3，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴点N的坐标为（n+1，n+1），
①如图4，当n＞0时，PM=n，
NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，
解得n=1+或-1；
②如图5，当n＜0时，PM=-m，
NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则-n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，
解得n=1-或-1-，
③∵直线AB过O，即直线经过第一、三象限，
∴点M在第3象限点N在第2象限不存在；
综上所述以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，n的值是n=1±，或n=-1±．