Question

在一组数列：a₁，a₂，a₃，…，a_n中，已知a₁=1-，且a₂=1-，a₃=1-，…，a_n=-．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据以上计算过程发现的规律可求出：a₂₀₁₂=______；
（3）求a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂．

Answer

（1）将a1的值代入a2=1-中求出a2的值，将a2的值代入a3=1-中求出a3的值，将a3的值代入a4=-即可求出a4的值；
（2）根据上述计算过程得到其值的规律以三个数循环，由2012除以3的余数为2，即可确定出所求的值；
（3）先计算出a1a2a3的值，根据总结得到规律发现：a1=a4=a7=…=a2011，a2=a5=a8=…=a2012，a3=a6=a9=…=a2010，进而得到a1a2a3=a2a3a4=a3a4a5=…=a2010a2011a2012=-1，即可求出所求式子的值．
【解析】
（1）当a1=1-时，a2=1-=1-=1-=-，
a3=1-=1-=π，a4=1-=1-；
（2）∵2012÷3=670…2，
∴a2012=-；
（3）由（1）得：a1a2a3=（1-）×（-）×π=-1；
且有一下规律：a1=a4=a7=…=a2011，a2=a5=a8=…=a2012，a3=a6=a9=…=a2010，
∴a1a2a3=a2a3a4=a3a4a5=…=a2010a2011a2012=-1，
则a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a2010a2011a2012=-1×2010=-2010．
故答案为：（2）-