Question

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在（2）的情况下，当AE∥BC时，求AM的值．

Answer

（1）猜想BG=AE，在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立．连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3））因为△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，利用“三线合一”可证明BD=CD，进而证明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通过证明△ADM∽△AEN，
利用相似三角形的性质得到关于AM的比例式，把已知数据代入求出AM的值即可．
（1）猜想BG=AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，

∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=，
∴AN=BM=AB-AM=-AM，
∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
∵AD=BC=×1=1，DE=BC=2，
∴AE==，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠8=90°-∠6=45°，
∴∠5=∠8，
∴△ADM∽△AEN，
∴，
∴，
∴AM=．