Question

如图，在△ABC中，AB=AC，分别以高OA、底边BC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．已知OA=BC=4，抛物线y=-x²+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）一条与x轴垂直的直线l从y轴的位置出发，以每秒1个单位的速度向右平移，分别交抛物线、线段AB、线段OA和AC于点P、D、E和M，连接PA、PB，设直线l移动的时间为t秒，四边形PBCA的面积为S个平方单位．求S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线上是否存在这样的点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据等腰三角形三线合一的性质求出OB=OC=BC，再求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）连接OP，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再根据四边形PBCA的面积S=S△PBO+S△POA+S△AOC，利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）方法一：先判断出△PAM是直角三角形时∠PAM=90°，然后求出∠PAE=∠ACO，再根据∠PAE的正切值列式得到关于t的方程，解方程得到t的值，从而得到点P的坐标；
方法二：先判断出△PAE和△ACO相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解得到t的值，再求出点P的纵坐标，从而得解．
【解析】
（1）∵AB=AC，OA⊥BC，OA=BC=4，
∴OB=OC=BC=2，
∴点A和点B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点B，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为y=-x2+x+2；

（2）连接OP，根据题意得，OE=t，
∵点P在抛物线y=-x2+x+2上，
∴点P的坐标为（t，-t2+t+2），
∴四边形PBCA的面积S=S△PBO+S△POA+S△AOC，
=•OB•OE+OA•PE+OA•OC，
=×2•t+×4×（-t2+t+2）+×4×2，
整理得，S=-t2+4t+8（0＜t＜4），
∵S=-t2+4t+8=-（t-2）2+12，
∴当t=2时，S最大，最大值为12，
∴四边形PBCA的最大面积为12个平方单位；

（3）方法一：抛物线上存在这样的点P，使得△PAM是直角三角形．
显然，∠AMP＜90°，∠APM＜90°，
所以，当∠PAM=90°时，△PAM是直角三角形，
此时∠PAE+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠PAE=∠ACO，
∴tan∠PAE=tan∠ACO==2，
∵直线l∥BC，
∴∠AEP=∠AOB=90°，
∴PE=AEtan∠PAE，
∵PE=-t2+t+2，AE=OA-OE=4-t，
∴-t2+t+2=2（4-t），
整理得，t2-7t+12=0，
解得t1=3，t2=4（舍去），
∴-t2+t+2=-×32+×3+2=2，
∴点P的坐标为（3，2）；
方法二：根据方法一∠PAE=∠ACO，∠AEP=∠AOB=∠AOC=90°，
∴△PAE∽△ACO，
∴=，
即=，
整理得，t2-7t+12=0，
解得t1=3，t2=4（舍去），
∴-t2+t+2=-×32+×3+2=2，
∴点P的坐标为（3，2）．