Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，且交AC于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC+GC=5，求直径AD的值．

Answer

（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；
（2）过E作EF垂直于OD，连接EG，利用AAS得出△ACE≌△AFE，根据全等三角形对应边相等得到AC=AF，CE=FE，再由圆内接四边形的外角等于内对角得到一对角相等，再由一对直角相等及CE=FE，利用AAS得出△CEG≌△FED，可得出CG=FD，由AF+FD=AD，等量代换即可求出AD的长．
【解析】
（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；

（2）过E作EF⊥AB于点F，连接EG，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴AC=AF，CE=FE，
∵∠AED=90°，
∴AD是⊙O的直径，又点D在⊙O上，
∴四边形AGED是圆内接四边形，
又∠CGE为圆内接四边形AGED的外角，
∴∠CGE=∠EDA，
在△CEG和△FED中，
，
∴△CEG≌△FED（AAS），
∴CG=FD，又AC+CG=5，
则AD=AF+FD=AC+CG=5．