Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=2，点E是AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G，交BC于点K，过点K作KM⊥AD于M．
（1）当E为AB中点时，求的值；
（3）若，则的值等于______；
（6）若（n为正整数），
则的值等于______（用含n的式子表示）．

Answer

（1）连接GE，根据垂直平分线的性质和已知条件证明△KMG≌△DAE，设GE=GD=x，在Rt△AEG中，利用勾股定理求出x的值，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出的值；
（2）根据，得出AE=，由勾股定理得（2-x）2+（）2=x2，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出的值；
（3）根据，得出AE=，由勾股定理得（2-x）2+（）2=x2，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出的值；
【解析】
（1）连接GE．
∵KM⊥AD，KG是DE的垂直平分线
∴∠KMG=∠DFG=90°
∴∠GKM=∠GDF
∵MK=AB=AD，∠KMG=∠DAE=90°
∴△KMG≌△DAE
∴MG=AE
∵E是AB中点，且AB=AD=2
∴AE=MG=1
∵KG是DE的垂直平分线
∴GE=GD
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）2+12=x2
∴x=，
∴DM=GD-GM=，
∴；

（2）若，
则AE=，
∴AE=MG=，
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）2+（）2=x2
∴x=，
∴GD=，
∴DM=GD-GM=，
∴==；

（3）若，
则AE=，
∴AE=MG=，
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）2+（）2=x2
∴x=，
∴GD=，
∴DM=GD-GM=，
∴==．
故答案为：，．